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El calor específico de un gas ideal

La ecuación estado para un gas ideal es

$\displaystyle PV=NRT%
$ (69)

donde $ N$ es el número de moles del gas en el volumen $ V$. El comportamiento del gas ideal representa una aproximación extremadamente buena al comportamiento de gases verdaderos para una amplia variedad de usos. Sin embargo, se debe tener en mente, que describir una sustancia como un gas ideal constituye un modelo de la situación física real, y que los límites de la validez del modelo deben estar siempre presentes.

Uno de los aspectos importantes de un gas ideal es que su energía interna depende solamente de su temperatura. (Par ahora, esto se puede contemplar como otro aspecto del modelaje de sistemas reales que el gas ideal representa, pero se puede demostrar que ésta es una consecuencia de la forma de la ecuación estado.) Ya que $ u$ depende solamente de $ T$ de la ecuación $ du=\left( \frac{\partial u}{\partial T}\right) _{v}dT+\left(
\dfrac{\partial u}{\partial v}\right) _{T}dv$ podemos escribir

$\displaystyle du=\left( \frac{\partial u}{\partial T}\right) _{v}dT%
$ (70)

o bien

$\displaystyle du=c_{v}\left( T\right) dT%
$ (71)

donde $ c_{v}\left( T\right) $ indica que el calor específico a volumen constante es sólo función de la temperatura.

La entalpía al igual que la energía interna sólo depende de la temperatura para un gas ideal. Análogamente se pude mostrar que

$\displaystyle dh=\left( \frac{\partial h}{\partial T}\right) _{p}dT%
$ (72)

y por tanto

$\displaystyle dh=c_{p}\left( T\right) dT%
$ (73)

Por otro lado, si estamos interesados en cambios finitos de la energía interna o de la entalpía, integramos tal que ,

$\displaystyle \Delta u_{1-2}=\int_{T_{1}}^{T_{2}}c_{v}\left( T\right) dT%
$ (74)

y

$\displaystyle \Delta h_{1-2}=\int_{T_{1}}^{T_{2}}c_{p}\left( T\right) dT%
$ (75)

Sobre cambios de temperatura pequeños $ \left( \Delta T\approx200K\right)
$ se asume que $ c_{p}$ y $ c_{v}$ son constantes. Además, existe un amplio rango sobre el cual los calores específicos no varían significativamente con respecto a temperatura. Es a menudo útil tratarlas como constantes.

$\displaystyle du$ $\displaystyle =c_{v}dT$    
$\displaystyle u_{2}-u_{1}$ $\displaystyle =c_{v}\left( T_{2}-T_{1}\right)%
$ (76)

y

$\displaystyle dh$ $\displaystyle =c_{p}dT$    
$\displaystyle h_{2}-h_{1}$ $\displaystyle =c_{p}\left( T_{2}-T_{1}\right)%
$ (77)

Estas ecuaciones son útiles para calcular las diferencias de energía interna o las diferencias de la entalpía, pero se debe tener claro que su formulación es solamente si el calor específico es constante.

Podemos relacionar los calores específicos de un gas ideal a la constante de gas real como sigue. Escribimos la primera ley en términos de energía interna,

$\displaystyle \delta q=du+dW%
$ (78)

y asumimos un proceso reversible que escribimos en términos de la entalpía

$\displaystyle \delta q=du+vdP%
$ (79)

Igualando las dos primera expresiones de arriba y suponiendo un gas ideal obtenemos que

$\displaystyle c_{p}dT-vdP=c_{v}dT\ddot{}<tex2html_comment_mark>570 +Pdv%
$ (80)

que al combinar términos obtenemos

$\displaystyle \left( c_{p}-c_{v}\right) dT=d\left( Pv\right)%
$ (81)

tal que

$\displaystyle \left( c_{p}-c_{v}\right) =\frac{d\left( Pv\right) }{dT}%
$ (82)

Ya que de la ecuación de estado tenemos $ Pv=RT$, podemos escribir

$\displaystyle c_{p}-c_{v}=R%
$ (83)

o bien de kmol de gas

$\displaystyle C_{p}-C_{v}=\mathfrak{R}%
$ (84)

Una expresión que se utiliza comúnmente es la razón entre los calores específicos y que se defina como

$\displaystyle \gamma=\frac{c_{p}}{c_{v}}%
$ (85)

En general para las sustancias $ u$ y $ h$ dependen de la presión así como de la temperatura, y las relaciones antedichas no son aplicables. A este respecto, el gas ideal es un modelo muy especial.

En resumen, los calores específicos son una propiedad termodinámica y se pueden utilizar aunque los procesos no sean a presión constante o volumen constante. Las relaciones simples entre los cambios en energía (o entalpía) y la temperatura son una consecuencia del comportamiento para un gas ideal que pacíficamente depende solamente de la temperatura, y no son verdades para un substancias más complejas.


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Oscar Jaramillo 2007-05-03